2001統計力学II     Q&A-2 (10/12)                    <<<戻る

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    例：「よくわからなかった」⇒「二重和の取り方で、なぜ束縛条件が外れるのかわからなかった」

Q's

• Fermi粒子とBose粒子のちょうど、間の性質を持つような粒子、すなわち、
  一つの状態に3つとか4つしか入れない、というものはないの？(藤田)
  
  
• 板書で、Slater行列式の規格化因子が 1/(√N) になっていた。
  (正しくはもちろん、1/(√N!) です)　　(乙黒)
  
  
• Bose分布の分布関数＜n_i＞が負になってしまいそうなのですが、、、。　(大久保)
  
  
• グランドカノニカルでの二重和の取り方がピンと来ませんでした　(富沢)
  二重和 (S_NS_{粒子数Nの状態全て}) の取り方がよく分からない。(多数)
  その他、わかったというコメントも多数あり。
  
  
  
• 占有数n_i の意味がよくわからなかった。そもそも 「 e_iの占有数」とは何？
  フェルミ粒子だと、同じ状態に一つしか入れないから、n_i = 0,1 で、
  ボース粒子だと、いくつ入ってもいいから、n_i = 0,1,2... でよいのですか？(梅田)
  
  
• 講義終了直前に板書のスピードを上げないで欲しい。 
  とても書ききれない。 (かなり多数)
  
  
• たとえ話がわかりやすくてよい。もっとたとえ話を引用して欲しい (村越)
  
  
• Fermionの分布関数のグラフを、β=∞(T=0), β=小(T=低温),  β=中(T=高温) 
  と、下図のように三つでまとめてしまうのは良くないと思います(横軸の関係)     (田中)
  
  
  
• Fermi分布関数が高温で「なまる」理由の物理的描像は何でしょうか。
  粒子が振動するからですか？ (戸田)
  
  
• Slater行列式で、Bosonに対応した方(添字で＋を付けた方)の具体的な
  計算を示して欲しい。(増岡)
  
  
• Fermionについて、例えば、s軌道に二つ電子が入った後でも、空間的には
  まだまだスペースがあるように思えるのですが、どうしてそれ以上入れないのか
  物理的な描像を示して欲しい。何か斥力が働いているとは考えにくいですし、
  何がこれ以上電子が入ってくるのを妨げるのでしょうか。(加藤)
  
  
• 量子力学、統計力学と混ざっていて、いよいよ現代物理だ、と思いました。(小野)
  
  
• グラフを描けない。(多数)
  
  

A's

• Fermi粒子とBose粒子のちょうど、間の性質を持つような粒子、すなわち、
  一つの状態に3つとか4つしか入れない、というものはないの？　　　　　　　<<<TOP
  
  非常に良い質問です。数十年前に、パラ統計として、さかんに最先端の研究
  が行われたことがあります。
  残念ながら、現実の粒子ではそういうものは存在しないのと、パラ粒子は、
  結局、「複数のフェルミ粒子を組み合わせたもの」、という風に捉えることが
  出来るので、最近はあまり、流行らないみたいです。
  
  日本物理学会誌(和文の雑誌)の23巻, p644-653(1968年9月号)
  に解説記事が載っているそうです。私は未だ読んだことはないのですが。
  
  
• 板書で、Slater行列式の規格化因子が 1/(√N) になっていた。
  (正しくはもちろん、1/(√N !) です)
  
  指摘、ありがとう、書き忘れていたようです。来週、訂正します。　　　　　　　<<<TOP
  
  
• Bose分布の分布関数＜n_i＞が負になってしまいそうなのですが、、、。　　　<<<TOP
  
  nは粒子数ですから、絶対に負にはなりません。そこで、μ≦ 0 という
  条件が直ちに出てくるのです。
  
  
• グランドカノニカルでの二重和の取り方がピンと来ませんでした　　　　　 <<<TOP
  
  簡単のため、Fermionの例を図示すると、、、
  (Bosonの場合は、n₀=0, 1, 2,... ですのでもっと多くの場合があります)
  
  A) 粒子数N 毎に和を取って行くやり方の例(二重和の方です)
                                n₀ ,  n₁ , n₂ , n₃ , n₄ 
     N = 0の場合       1)  0     0     0     0     0 ...
  
     N = 1の場合       1)  1     0     0     0     0 ...
                            2)  0     1     0     0     0 ...
                            3)  0     0     1     0     0 ...
                            4)  0     0     0     1     0 ...
                            :
  
     N = 2の場合       1)  1     1     0     0     0 ...
                             2)  1     0     1     0     0 ...
                             3)  0     1     1     0     0 ...
                             4)  1     0     0     1     0 ... 
                             5)  0     1     0     1     0 ...
                             6)  0     0     1     1     0 ...
                             :
  
  B) 各エネルギー準位について無条件に和を取るやり方の例
                                 1)  0     0     0     0     0 ...
                                 2)  1     0     0     0     0 ...
                                 3)  0     1     0     0     0 ...
                                 4)  1     1     0     0     0 ...
                                 5)  0     0     1     0     0 ...
                                 6)  1     0     1     0     0 ...
                                 7)  0     1     1     0     0 ...
                                 8)  1     1     1     0     0 ...
                                 9)  0     0     0     1     0 ...
                             :
  
  この二つのやり方A), B)が、結局どちらも同じということです。
  (粒子数毎にわけても、結局、全部の場合について和をとるので)。
  
  
  
• 占有数n_i の意味がよくわからなかった。そもそも 「 e_iの占有数」とは何？
  フェルミ粒子だと、同じ状態に一つしか入れないから、n_i = 0,1 で、
  ボース粒子だと、いくつ入ってもいいから、e_i = 0,1,2... でよいのですか？     <<<TOP
  
  量子力学で、一つの粒子に関する問題を解いてエネルギー準位を求めます。
  e₀ , e₁ , e₂ , e₃ , e₄ , e₅ ,..... 
  この段階では、あくまで一つの粒子に関する問題で、温度とか、エントロピーとか
  は全く判りません。
  次に、その粒子が沢山集まったときに、どういう状態になるか、というのを統計力学
  でやります。このとき、たとえば、
  e₃ のエネルギーを持っている粒子の数が、e₃の占有数です。
  
  後半の質問は、それで正しいと思います。
  
  
  
• 講義終了直前に板書のスピードを上げないで欲しい。
  とても書ききれない。                                                                                      　　　<<<TOP
  
  大変的を得た、良い忠告です。ありがとう。ついつい、間に合わないと急いで
  書いてしまうことがありますが、本講義の次の時限の講義もあるので、数分
  前には書き終わるようにしたいと思います。
  
  
  
• たとえ話がわかりやすくてよい。もっとたとえ話を引用して欲しい <<<TOP
  
  イメージがつかめないと、いくら式の計算が出来てもなかなか前に進めない
  ので、できるだけたとえを引用したいと思っています。
  但し、残念ながら「化学ポテンシャル＝講義のつまら無さ」というたとえは、
  私のオリジナルではなく、統計力学入門(講談社、高橋康)の受け売りです。
  
  
  
• Fermionの分布関数のグラフを、β=∞(T=0), β=小(T=低温),  β=中(T=高温) 
  と、三つでまとめてしまうのは良くないと思います(横軸の関係)  　　　<<<TOP
  
  コメントの意味がちょっとつかめないのですが、大事なことを言っている気がするので
  ぜひ、もう少し詳しく伝えて下さい。
  私の予想では、可能性として、
  
  1) 化学ポテンシャルが温度変化するので、横軸を揃えてプロットするのは良くない。
  2) フェルミ分布関数は温度によって連続的に変化するから、3つだけを代表例として
      しまうのは不十分である。
  
  のどちらかかな、と思っています。もし、1ならば、次回、じっくりと、化学ポテンシャルの
  温度変化を議論します。もし、2ならば、是非、自分で、グラフを書いて、温度とともに
  フェルミ分布関数が、美しくうねるようすを堪能して下さい。
  
  
  
• Fermi分布関数が高温で「なまる」理由の物理的描像は何でしょうか。
  粒子が振動するからですか？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　<<<TOP
  
  「振動」という意味を「熱振動」つまり「運動エネルギーが大きくなり、ランダムに激しく
  動く」という風に理解していらっしゃるのであれば正解です。
  きっちり全員着席している教室で、後ろのドアの近くで、面白い漫才をやっていると、
  みんな浮かれ出して(≡教室の温度が上がって)、ドア付近に座っていた人達から、
  少しずつ出て行ってしまう、、、、ということです。
  
  
  
• Slater行列式で、Bosonに対応した方(添字で＋を付けた方)の具体的な
  計算を示して欲しい。                                                                       <<<TOP
  
  2×2の行列ならば、ad+bc です。
  
  
  
• Fermionについて、例えば、s軌道に二つ電子が入った後でも、空間的には
  まだまだスペースがあるように思えるのですが、どうしてそれ以上入れないのか
  物理的な描像を示して欲しい。何か斥力が働いているとは考えにくいですし、
  何がこれ以上電子が入ってくるのを妨げるのでしょうか。　　　　　　　　　　　<<<TOP
  
  大変良い質問です。「斥力のようなもの」が働いていると思ってよいのです。
  教科書によっては、この仮想的なポテンシャルがどんな形か計算させて
  いるものもあります（グライナーの統計力学など)。
  ただ、あくまで「斥力のようなもの」でして、本当のポテンシャルではありません。
  
  なお、Bosonでは逆に、「引力のようなもの」が働いています。
  
  
  
• 量子力学、統計力学と混ざっていて、いよいよ現代物理だ、と思いました。  <<<TOP
  
  確かにそうですが、まだ、やっと１９世紀の物理学です。３年生の１年間で
  一気に、100年の時空を通過し、卒研と大学院での最先端の研究に入ります。
  上手に「ワープ」できるよう、お手伝いできると良いのですが、、、。
  
  
  
• グラフを描けない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　<<<TOP
  
  意外と簡単です。Excelでは、x軸とy軸のデータを指定して、「散布図」というグラフを
  選びます。そのほか、sma4winというグラフ描画ソフトが関数描画機能を持っていて
  使いやすいと思います。コンピュータルームのTAに聞いてみるのが良いでしょう。
  

 
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